Bentuk Aljabar

Posted on

Bentuk Aljabar – Pada kesempatan kali ini, kita akan mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya serta melakukan operasi pada bentuk aljabar.

Bentuk Aljabar

Arti Dari 2a DAN a²

Arti 2a adalah 2 × a ditulis 2a artinya a + a atau 2a = a + a

Contoh:
   3x = x + x + x
      6y = y + y + y + y + y + y

Arti a2 dibaca (a pangkat 2 atau a kuadrat) adalah a × a

a2 = a × a

Contoh:
   b³ = b × b × b
      y² = y × y 

Pengertian Suku, Faktor dan Suku Sejenis

Contoh:

  • 1 × 7 = 7  maka 1 dan 7 adalah faktor dari 7
  • 1 × 6 = 6  dan  2 × 6 = 6  maka 1, 2, 3 dan 6 adalah faktor dari 6.

Mari kita mengingat kembali:

  • Faktor dari 10 adalah 1, 2, 5 dan 10.
  • Faktor prima dari 10 adalah 2 dan 5.
  • Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9 dan 18
  • Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Contoh: Tentukan FPB dari 18 dan 24!
Jawab:
Cara I: Dengan Faktor Persekutuan
Faktor 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18
Faktor 24 adalah 1, 2, 3, 6, 8, 12 dan 24
Faktor peresekutuannya adalah 1, 2, 3, 6
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari 18 dan 24 adalah 6

Cara II: Dengan Faktorisasi Prima. Perhatikan pohon faktor!
Pohon Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima dari 18 adalah 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
Faktorisasi prima dari 24 adalah 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
Jadi, FPB dari 18 dan 24 adalah 2 × 3 = 6

Catatan: Untuk menentukan FPB, kalikan faktor prima yang sama dari bilangan-bilangan itu yang mempunyai pangat paling kecil.

  • Menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Contoh: Tentukan KPK dari 12 dan 15!
Jawab:
Cara I: Dengan cara Kelipatan Persekutuan
Kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
Kelipatan 15 adalah 15, 30, 45, 60, 75, ...
KPK dari 12 dan 15 adalah 60

Cara II: Dengan Faktor Prima. Perhatikan pohon faktor berikut!
Pohon Faktor Prima
Faktor prima dari 12 adalah 2 × 2 × 3 = 2² × 3
Faktor prima dari 15 adalah 3 × 5 = 3 × 5
Jadi, Faktor Prima dari 12 dan 15 adalah 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60

3 × a = 3a

3 dan a adalah faktor dari 3a. Pada bentuk 3a, 3 disebut koefisien a. Sedangkan a disebut peubah (variabel).

Bentuk yang melibatkan variabel seperti 2a, 3a, 5b + 2a + 7 disebut aljabar.

7a³ + 2a + 3b + 4a + 5

Bentuk di atas terdiri dari 5 suku (sebelum disederhanakan), yaitu 7a³ + 2a + 3b + 4a + 5.

  • 7 disebut koefisien a³
  • 2 dan 4 disebut koefisien a
  • 3 disebut koefisien b
  • 5 disebut konstanta

2a dan 4a merupakan suku sejenis sebab peubahnya sama, sedangkan 2a + 2b tidak sejenis.

Contoh: Yang tidak sejenis: 7a³ dan 2a karena a³ ≠ a
2a dan a² karena a ≠ a²

Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

Operasi hitung pada bentuk aljabar terdiri dari penjumlahan suku sejenis, pengurangan suku sejenis, perkalian dan pembagian bentuk aljabar, dan perpangkatan bentuk aljabar.

Penjumlahan Suku Sejenis

Contoh:
a. Sederhanakan pernyataan di bawah ini:
1) 7x + 3x 2) -7 + 3x
Jawab: 7x Jawab: -7x
3x + 3x +
10x -4x

b. Hasil dari penjumlahan berikut adalah:
1) + 5x 2) 3a - 5b
+ 8x + 4a + 7b +
+13x 7a + 2b

Pengurangan Suku Sejenis

Contoh:
a. Sederhanakan!
1) 3a - 8a = .... 2) -3a - 8a = ....
Jawab: 3a Jawab: -3a
-8a + -8a +
-5a -11a
b. Kurangkan!
1) 3x + 5 dari 7x + 6
Jawab:
(7x + 6) - (3x + 5) = 7x 6 - 3x - 5 sifat pengurangan
= (7x - 3x) + (6 - 5) sifat assosiatif
= 4x +1
2) -5x + 5 oleh -2x - 3
Jawab:
(-5x + 5) - (-2x - 3) = -5x + 5 + (2x +3)
= -5x + 5 + 2x + 3
= -5x + 2x + 5 + 3
= -3x + 8

Pada pengurangan suku sejenis berlaku sifat: a – b = a + (-b)

Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

Contoh 1:
a. 2a = 2 × a
b. 2a × 2a = 4a² caranya: 2 × 2 = 4 dan a × a = a²
c. 2b × 2a = 4ab caranya: 2 × 2 = 4 dan a × b = ab
d. a³ = a × a × a

Contoh 2:
a. 3x : 3 = x → 3 : 3 = 1, x tidak dibagi karena pembaginya suatu konstanta
→ 1 × x = x
b. 6x : 2x = 3 → 6 : 2 = 3, x : x = 1 → 3 × 1 = 3
c. 2x : x = 2x → 2 : 1 = 2, x² : x = x → 2 × x = 2x

Perpangkatan Bentuk Aljabar

Operasi pangkat dalam penjumlahan, yang dijumlahkan hanya koefisiennya saja, sedangkan perkalian berlaku (axn) × (bxm) = abxn+m

Contoh:
a. a² + a² = 1a² + 1a² = (1 + 1)a² = 2a²
b. a² × a² = a2+2 = a4
c. 3x × 7xy = 3 × 7x¹ × x¹ × y = 21x1+1y = 21x2y

Operasi Hitung Bentuk Pecahan Aljabar

Operasi hitung bentuk pecahan aljabar terdiri dari: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,perpangkatan dan penyederhanaan.

Penjumlahan Pecahan Aljabar

Contoh: Tentukan hasil penjumlahan berikut:
     a. \(\frac{2x}{3}\) + \(\frac{1}{2}x\) = \(\frac{4x}{6}\) + \(\frac{3x}{6}\) = \(\frac{7x}{6}\) samakan kedua penyebutnya.

     b. \(\frac{5x²}{2}\) + 2 = \(\frac{5x²}{2}\) + \(\frac{4}{2}\) = \(\frac{5x² + 4}{2}\)

     c. \(\frac{3}{2x}\) + \((\frac{-4}{3})\) = \(\frac{9}{6x}\) + \((\frac{-8x}{6x})\) = \(\frac{9 – 8x}{6x}\)

Pengurangan pada Pecahan Aljabar

Contoh:
Carilah hasil pengurangan berikut!
     a. \(\frac{1}{2}x²\) – \(\frac{3}{4}x²\) = \(\frac{2}{4}x²\) – \(\frac{3}{4}x²\) = \(\frac-{x²}{4}x\)

     b. \(\frac{7}{8}y\) – \(\frac{4}{5y}\) = \(\frac{35y²}{40y}\) – \(\frac{32}{40y}\) = \(\frac{35y² – 32}{40y}\)

Perkalian pada Pecahan Aljabar

Contoh:
     a. Hasil kali antara:
         1) \(\frac{5}{7}\) × \(\frac{8}{5}\) = ….
            Jawab:
                       \(\frac{5}{7}\) × \(\frac{8}{5}\) = \(\frac{40}{35}\) = \(\frac{8}{7}\)

        2) \(\frac{1x}{3}\) × \(\frac{4x}{7}\) = ….
            Jawab:
                      \(\frac{1x}{3}\) × \(\frac{4x}{7}\) = \(\frac{4x²}{21}\)

     b. Berapakah hasil kali dari:
         1) \(\frac{3}{5x}\) × \(\frac{2x}{5}\) = …. x ≠ 0
             Jawab:
                       \(\frac{3}{5x}\) × \(\frac{2x}{5}\) = \(\frac{6x}{25x}\) = \(\frac{6}{25}\)

        2) \(\frac{7x²}{5}\) × \((\frac{-2x}{3})\) = ….
            Jawab:
                       \(\frac{7x²}{5}\) × \((\frac{-2x}{3})\) = \(\frac{14x²}{15}\)

Pembagian dalam Bentuk Pecahan Aljabar

Contoh 1:
       Berapakah hasil bagi dari:
       a. \(\frac{1}{2}\) : \(\frac{2}{3}\) = ….
          Jawab:
                     \(\frac{1}{2}\) : \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{3}{4}\)

      b. \(\frac{7x}{8}\) : \(\frac{1x}{4}\) = …. x ≠ 0
         Jawab:
                  \(\frac{7x}{8}\) : \(\frac{1x}{4}\) = \(\frac{7x}{8}\) : \(\frac{4}{1x}\) = \(\frac{28x}{6x}\) = \(\frac{7}{2}\)

Contoh 2:
      Hasil bagi dari:
      a. \(\frac{2x}{3x}\) : \(\frac{x}{7x}\) = ….
          Jawab:
                    \(\frac{2x}{3x}\) : \(\frac{x}{7x}\) = \(\frac{2x}{3x}\) : \(\frac{7x}{x}\) = \(\frac{14x²}{3x²}\) = \(\frac{14x²}{3x²}\) = \(\frac{14}{3}\)

      b. 4x : \(\frac{1}{x}\) = ….
          Jawab:
                    4x : \(\frac{1}{x}\) = 4x × \(\frac{x}{1}\) = 4x²

Catatan: Pembagian bilangan pecahan aljabar ax oleh bx sama dengan mengalikan ax dengan invers dari bx.

Perpangkatan dalam Bilangan Pecahan Aljabar

Contoh:
      Selesaikan:
      a. \((\frac{1}{4})^2\) = ….
          Jawab:
                    \((\frac{1}{4})^2\) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{16}\)

     b. \((\frac{3x}{4})^2\) = ….
         Jawab:
                   \((\frac{3x}{4})^2\) = \(\frac{3x}{4}\) × \(\frac{3x}{4}\) = \((\frac{9x²}{16}\)

Catatan: Pada perpangkatan bentuk pecahan aljabar (ax)sama dengan mengalikan ax × ax sebanyak n kali 

Menyederhanakan Hasil Operasi Pecahan Aljabar

Contoh 1:
       Sederhanakan pecahan aljabar berikut!
       a. \(\frac{7}{2}\) + \(\frac{1}{4}\) = ….
           Jawab:
                     \(\frac{7}{2}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{14}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{15}{4}\)

       b. \(\frac{1}{2x}\) + \(\frac{2x}{3}\) = ….
           Jawab:
                    \(\frac{1}{2x}\) + \(\frac{2x}{3}\) = \(\frac{3}{6x}\) + \(\frac{4x²}{6x}\) = \(\frac{3 + 4x²}{6x}\)

Contoh 2:
       Bentuk yang paling sederhana dari:
       a. \((\frac{2x}{3} + \frac{1}{5x}\)) × 4 = …
           Jawab:
               \((\frac{2x}{3} + \frac{1}{5x}\)) × 4 ⇒ Kerjakan terlebih dahulu yang terdapat dalam kurung.

           ⇒ \((\frac{10x²}{15x} + \frac{3}{15x}\)) × 4 = \((\frac{10x² + 3}{15x}\)) × 4 = \(\frac{40x² + 12}{15x}\)

       b. \((\frac{x}{2} : \frac{5}{6}\)) + \((-2 × \frac{1}{7x}\))
           Jawab:
               \((\frac{x}{2} : \frac{5}{6}\)) + \((-2 × \frac{1}{7x}\)) = \((\frac{x}{2} × \frac{6}{5}\)) + \((\frac{-2}{7x}\)) = \(\frac{6x}{10}\) + \(\frac{-2}{7x}\) = \(\frac{3x}{5}\) + \((\frac{-2}{7x}\)) = \(\frac{3x}{5}\) – \(\frac{2}{7x}\)

Baca Juga: