Himpunan

Posted on

Himpunan – Pada kesempatan kali ini kita akan belajar tentang pengertian dan notasi himpunan serta bagaimana penyajiannya. Konsep himpunan bagian, operasi irisan, gabungan, selisih (difference) dan komplemen pada himpunan.

Pada masing-masing pokok bahasan akan diberikan contoh untuk memperjelas pemahaman. Yuk! dismak pejelasan di bawah ini. 

Himpunan

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah sekumpulan benda-benda atau obyek-obyek yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh himpunan:

contoh himpunan

  1. kumpulan alat-alat makan;
  2. kumpulan hewan berkaki empat;
  3. kumpulan 5 huruf abjad pertama;

Contoh bukan himpunan:

  1. kumpulan lukisan indah;
  2. kumpulan makanan enak;
  3. kumpulan wanita berwajah cantik;

Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi notasi dengan huruf kapital, seperti: A, B, C, dan sebagainya. Sedangkan penulisan nggotanya di antara kurung kurawal.

Contoh:

  1. A adalah himpunan bilangan cacah, maka sering ditulis: A = {0,1,2,3, …}.
  2. B adalah himpunan hari-hari dalam satu minggu yang diawali dengan huruf S, B = {Senin, Selasa, Sabtu}.

Menyatakan Suatu Himpunan

Menyatakan suatu himpunan, diantaranya:

  1. Dengan kata-kata, contoh: H adalah himpunan huruf pada kata aljabar;
  2. Dengan mendaftar: Contoh: F = {Januari, Februari}  H = {a,i,j,b,r}
  3. Dengan notasi pembentukan himpunan. Contoh: F = { a| a nama bulan yang dimulai dengan huru a}.

Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat ditentukan.
Contoh:
Himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}.
Himpunan A dan B adalah himpunan hingga karena banyak anggota himpunan A dan B dapat ditentukan yaitu 3.

Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tak dapat ditentukan.
Contoh:
Himpunan A = {1, 2, 3, 4, …} dan
Himpunan B = {2, 4, 6, 8, …}.
Masing-masing merupakan himpunan tak hingga karena kedua himpunan tersebut anggotanya tidak dapat ditentukan.

Himpunan Kosong dan Nol

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Lambang dari himpunan kosong adalah ∅ atau { }.

Contoh:

  1. A = Himpunan bilangan asli antara 4 dan 5. Karena A tidak mempunyai anggota, sehingga A = ∅ atau A = { }.
  2. Himpunan {0} bukan himpunan kosong karena memiliki anggota yaitu nol (0).

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan, lambangnya S.

Bagaimana menentukan semesta yang mungkin dari suatu himpunan?.

Contoh:

A = {2, 3, 5}
Himpunan semesta yang mungkin dari A adalah:
a. S = {1, 2, 3, 4, 5};
b. S = {bilangan asli};
c. S = { bilangan prima}; 

Diagram Venn

Untuk memudahkan menyatakan hubungan dua himpunan, bisa menggunakan Diagram Venn (penemunya seorang ahli Matematika yang bernama Jhon Venn).

  1. Himpunan diagram Venn dinyatakan dengan lingkaran.
  2. Himpunan semesta dinyatakan dengan persegi panjang.

Contoh:
a. A = {2, 4, 6, 8}
    S = {1, 2, 3, …, 8}
    Gambar diagram venn-nya adalah:

b. C = {bilangan cacah}
    S = {bilangan bulat}

Catatan: Untuk himpunan yang anggotanya banyak, maka noktah yang ada dalam digram Venn tidak perlu digambarkan.

Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B atau “A ∈ B”.

Contoh:

  1. Diketahui: A = {1, 3, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; C = {2, 4, 6, 8].
    Dapat ditulis:
    a. A ⊂ B → karena setiap anggota himpunan A merupakan anggota dari B
    b. A ⊄ B → karena tidak ada anggota himpunan A yang merupakan anggota himpunan B.

  2. Diketahui: C = {a, b, c}, sebutkan himpunan bagian dari A = ….
    Jawab:
    Himpunan bagian dari A adalah ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, dan {a,b,c}

Rumus banyaknya himpunan bagian = Jika banyaknya anggota suatu himpunan = n, maka banyaknya himpunan bagian adalah 2n

Irisan (Intersection)

Pengertian Irisan Dua Himpunan dan Simbolnya

  1. Irisan dan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B.
  2. Simbol A dan B adalah A ∩ B
  3. Notasi pembentukan himpunan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Contoh:
     A = {1, 2, 3, 4, 5};
     B = {2, 4, 6};
     C = {2, 3, 5, 7}
Tentukan:
     a. A ∩ B
     b. B ∩ C
     c. A ∩ B ∩ C
Jawab:
     a. A ∩ B = {2, 4}
     b. B ∩ C = {2}
     c. A ∩ B ∩ C = {2} karena 2 adalah anggota A juga sekaligus menjadi anggota B serta anggota C.

Menentukan Irisan Dua Himpunan

a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Contoh:
A = {2, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
Jika kita amati semua nggota A ada dalam B “A ⊂ B” sehingga A ∩ B = {2, 3, 5}.
Dalam gambar A ∩ B adalah daerah yang diarsir.

b. Kedua himpunan sama

Contoh:
Diketahui: A = {a, b, c}
                 B = {a, b, c}
Karena: A = B, maka
A ∩ B = A atau A ∩ B = B
A ∩ B adalah daerah yang diarsir

c. Kedua himpunan beririsan

Contoh:
Diketahui: A = {1, 2, 3, 4}
                 B = {3, 4, 5, 6}
Ternyata : A ⊃⊂ B
Maka      : A ∩ B = {3, 4}
Pada gambar A ∩ B daerah diarsir

Kedua Himpunan yang Saling Lepas

Contoh:
Diketahui: A = {1, 2, 3, 4}
                 B = {3, 4, 5, 6}
Ternyata : A ⊃⊂ B
Maka.     : A ∩ B = { }
Bila digambar seperti gambar di bawah!

Gabungan

Pengertian Gabungan Dua Himpunan dan Simbolnya

Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan semua anggotanya terdapat pada A atau B. Simbolnya “A ∪ B”. Notasi pembentuk himpunan A gabungan gabungan B = A ∪ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.

Contoh:
Diketahui: A = {1, 2, 3}
                 B = {3, 4, 5}
Tentukan: A ∪ B
Jawab    : A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

Menentukan Gabungan Dua Himpunan

a. Himpunan yang satu merupakan himpunan yang lain

Contoh:
Diketahui: A = {a, b}
                 B = {a, b, c, d, e}
Ternyata A ⊂ B, maka:
A ∪ B = {a, b, c, d, e}
A ∪ B = B
Pada gambar A ∪ B adalah daerah yang diarsir  

b. Kedua himpunannya sama

Contoh:
Diketahui: A = {1, 2, 3}
                 B = {3, 2, 1}
Ternyata : A = B, maka:
A ∪ B = {1, 2, 3} atau
A ∪ B = A atau A ∪ B = B
A ∪ B adalah daerah yang diarsir.

c. Kedua himpunan saling lepas

Contoh:
Diketahui: A = {1, 2}
                 B = {3, 4}
Ternyata:  A ⊃⊂ B, maka:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
A ∪ B daerah yang diarsir

d. Kedua himpunan tidak saling lepas dan bukan bagian himpunan yang lain

Contoh:
Diketahui: A = {a, b}
                 B = {b, c, d}
Ternyata:  A ⊃⊂ B, maka:
A ∪ B = {a, b, c, d}
A ∪ B daerah yang diarsir

Selisih (Difference) Himpunan

Selisih himpunan adalah himpunan semua anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B. Lambangnya A – B.

Diagram Venn

Contoh:
Diketahui: A = {1, 2, 3, 5, 8, 9}
                 B = {2, 3, 5, 7, 11}
Jadi A – B = {1, 8, 9}

Irisan dan Gabungan Himpunan

Irisan

Contoh:
Di suatu kelas terdapat 23 orang yang menyenangi matematika, 15 orang menyenangi IPA dan 9 orang menyenangi kedua-duanya.

Gambarkan diagram Venn, berapa orang siswa dalam kelompok tersebut.
Jawab:

Gabungan

Contoh:
Gambarlah diagram Venn dari keterangan berikut. Kemudian hitung banyaknya elemen yang ditanyakan.
n(A) = 50, n(B) = 60, dan
n(A ∩ B) = 35
Tentukan n(A ∪ B)!
Jawab:

Diagram Venn

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
              = 50 + 62 – 35
              = 77

Baca Juga: