Operasi Hitung Bilangan Pecahan

Posted on

Materi matematika kelas VII, setelah dibahas operasi hitung bilangan bulat pada materi sebelumnya. Sekarang kita akan membahas operasi hitung bilangan pecahan. Pokok bahasannya, sahabat edmodo.co.id bisa dilihat di daftar isi. Selamat belajar…

Operasi Hitung Bilangan Pecahan

A. Pecahan dan Lambangnya

Pengertian Pecahan

Pecahan adalah hasil bagi dari dua bilangan bulat a dan b dengan b bukan faktor dari a, dan b tidak sama dengan nol (0).

Bilangan pecahan \(\frac{a}{b}\), a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Contoh: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{8}\), 4\(\frac{1}{5}\)

Jenis/Bentuk Pecahan

a. Pecahan biasa/murni/sejati
    Contoh:
    \(\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{7}{8}\), \(\frac{-2}{3}\), dan lain-lain.

b. Pecahan Campuran
    Contoh:
    \(\frac{3}{5}\) dapat ditulis 1\(\frac{2}{3}\) berarti (1+\(\frac{2}{3}\))
    \(\frac{9}{2}\) dapat ditulis 4\(\frac{1}{2}\) berarti (4+\(\frac{1}{2}\))

Pecahan Desimal

    Contoh:
     a. \(\frac{1}{4}\) untuk pecahan desimal dapat ditulis 0,25 → dari 1 : 4
     b. \(\frac{3}{4}\) untuk pecahan desimal dapat ditulis 0,75 → dari 3 : 4

Persen (%)

    Contoh:
     a. \(\frac{4}{100}\) = 4%
     b. 0,25 = 25%
     c. \(\frac{1}{4}\) = 25%

Permil (‰)

    Contoh:
     a. \(\frac{4}{1000}\) = 4‰
     b. 0,5 = 500‰
     c. \(\frac{1}{4}\) = 250‰

B. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain

Mengubah Bentuk Pecahan Biasa ke Pecahan Desimal

Contoh:
   a. \(\frac{9}{10}\) = 0,9
   b. \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{4×2}{5×2}\) = \(\frac{8}{10}\) = 0,8
   c. \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{3×12,5}{8×12,5}\) = \(\frac{37,5}{100}\) = 0,375

Dengan pembagian tersusun:
Contoh:
   a. \(\frac{5}{8}\) diselesaikan:
       8 ⁄ 5 = 0,625
           0    
           50
           48  
           20
           16  
            40
            40
             0
   sehingga \(\frac{5}{8}\) = 0,625

   b. \(\frac{1}{4}\) diselesaikan:
       4 / 1 = 0,25
            0     
            10
              8   
              20
              20
               0
   sehingga \(\frac{1}{4}\) = 0,25

Catatan:
Dalam pembulatan, untuk menghasilkan 2 tempat desimal maka dalam pembagian harus mencapai 3 tempat desimal. Untuk bilangamn terakhir sama pengan 5 tau lebih, seperti 6, 7, 8, 9, maka pembulatan harus ditambah satu pada bilangan sebelumnya.

Mengubah Pecahan Desimal ke Pecahan Biasa

Contoh:
    a. 0,49       = \(\frac{49}{100}\)
    b. 0,725     = \(\frac{725}{1.000}\)
    c. 0,00008 = \(\frac{8}{100.000}\)

Ternyata banyaknya angka desimal adalah banyaknya angka disebelah kanan koma sama pengan banyaknya angka nol pada penyebut.

Jadi bila 0,49 = anglais disebelah kana koma ada 2 sehingga bentuk pecahannya angka penyebut nolnya harus 2 yaitu: \(\frac{49}{100}\)

Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen

Persen berarti “perseratus” ditulis p% tau \(\frac{p}{100}\)

Contoh:
    a. \(\frac{20}{100}\) = 20%
    b. \(\frac{84}{100}\) = 84%
    c. \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{3}{7}\) × 100% = 42\(\frac{6}{7}\)%

Untuk mengubah bántuk pecahan biasa ke bentuk persen, kalikan pecahan tersebut dengan 100%.

Mengubah Bentuk Persen ke Pecahan

Contoh:
Ubahlah bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan biasa!
a. 20%
    Jawab: 
         20% = \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{20 : 20}{100 : 20}\) = \(\frac{1}{5}\)
b. 70%
     Jawab:
          70% = \(\frac{70}{100}\) = \(\frac{70 :10}{100 :10}\) = \(\frac{7}{10}\)
Ubahlah bentuk persen berikut ke dalam bentik desimal
a. 18% = 0.18.            b. 13,5% = 0,135           c. 3% = 0,03

C. Menentukan dan Mengurutkan Suatu Pecahan yang Nilainya Di Antara 2 Pecahan

Contoh:
1. Tentukan pecahan yang tarletan di antara \(\frac{1}{4}\) dan \(\frac{1}{5}\)
    Jawab:
    \(\frac{1}{4}\) ….. \(\frac{1}{5}\) dapat dinyatan dengan
    ⇔ \(\frac{5}{10}\) … \(\frac{4}{20}\) → penyebut pecahan disamakan;
    Karena belum ada penyebut di antara pembilangnya maka diteruskan dengan menyamakan
    penyebut-penyebutnya dengan bilangan bulat lainnya.
    ⇔ \(\frac{10}{40}\) … \(\frac{8}{40}\) → setelah ada bilangan bulat.
    Antara pembilang-pembilangnya, antara 10 dan 8 maka, pecahan antara\(\frac{1}{4}\) dan \(\frac{1}{5}\) adalah   \(\frac{9}{40}\),
    bila digambarkan dalam garis bilangan:


2. Urutkan pecahan-pecahan di bawah ini dari terkecil hingga terbesar dan tentukan letaknya pada garis bilangan.
\(\frac{3}{4}\), \(\frac{5}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{5}\), \(\frac{1}{6}\)
Jawab:
Menyamakan penyebutnya dengan menentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. KPK dari 4, 5, 3, dan 6 adalah 60.
Jadi, \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{45}{60}\), \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{24}{60}\), \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{40}{60}\), \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{36}{60}\), \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{10}{60}\)

         \(\frac{10}{60}\) < \(\frac{24}{60}\) < \(\frac{36}{60}\) < \(\frac{40}{60}\) < \(\frac{45}{60}\) maka \(\frac{1}{6}\) < \(\frac{2}{5}\) < \(\frac{3}{5}\) < \(\frac{2}{3}\) < \(\frac{3}{4}\)

Letak pada garis bilangan:

D. Operasi Dalam Pecahan

Penjumlahan dan Pengurangan

Dalam menjumlahkan tau mengurangkan pecahan, penyebut-penyebutnya perlu disamakan terlebih dahulu.

Contoh:
Hitunglah: a. \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{12}\) + \(\frac{9}{12}\) = \(\frac{17}{12}\) = 1\(\frac{5}{12}\)

                  b. \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{4}{24}\) + \(\frac{15}{24}\) = \(\frac{19}{24}\)

                   c. \(\frac{5}{8}\) – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5×6}{8×6}\) – \(\frac{1×6}{6×8}\) = \(\frac{30}{48}\) – \(\frac{8}{48}\) = \(\frac{22}{48}\) = \(\frac{11}{24}\)

Pada penjumlahan dan pengurangan berlaku sifat komutatif dan asosiatif.
     \(\frac{a}{b}\) + \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a+b}{c}\)

     \(\frac{a}{c}\) – \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a-b}{c}\)

Perkalian Pecahan dengan Pecahan

Untuk mengalikan 2 pecahan biasa, kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut.

Contoh:
a. \(\frac{2}{8}\) × \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2×3}{8×5}\) = \(\frac{6}{40}\) = \(\frac{3}{20}\)

b. \(\frac{3}{8}\) × 2\(\frac{4}{7}\) = \(\frac{3}{8}\) × \(\frac{18}{7}\) = \(\frac{3×18}{8×7}\) = \(\frac{54}{56}\) = \(\frac{27}{28}\)

c. 4\(\frac{1}{2}\) × 3\(\frac{2}{3}\) = \(\frac{9}{2}\) × \(\frac{11}{3}\) = \(\frac{×11}{2×3}\) = \(\frac{99}{6}\) = \(\frac{33}{2}\)

d. 2 × \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{2}{1}\) × \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{2×3}{1×7}\) = \(\frac{6}{7}\)

Invers Perkalian (Kebalikan) dari Suatu Bilangan

Suatu bilangan bila dikalikan dengan inversnya, hasilnya sama dengan 1.
Kebalikan dari a = \(\frac{1}{a}\) Karena a × \(\frac{1}{a}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1
Kebalikan dari \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{b}{a}\), a ≠ 0,b ≠ 0

Contoh: Tentukan invers dari:
a. 9
    Jawab: 9 × \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{9}{9}\) = 1; invers perkalian dari 9 atalha \(\frac{1}{9}\)
b. \(\frac{2}{8}\)
    Jawab: \(\frac{2}{8}\) × \(\frac{8}{2}\) = \(\frac{16}{16}\) = 1; invers perkalian dari \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4

Pembagian Pecahan dengan Pecahan

Pembagian bilangan pecahan a oleh b, b ≠ 0 sama dengan mengalikan bilangan a pengan invers b.

Contoh:
a. \(\frac{5}{6}\) : \(\frac{2}{3}\)
    Jawab: \(\frac{5}{6}\) : \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{15}{12}\) = \(\frac{5}{4}\) = 1\(\frac{1}{4}\)

b. 2\(\frac{1}{4}\) : 4\(\frac{1}{2}\)
    Jawab: 2\(\frac{1}{4}\) : 4\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{9}{4}\) : \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{9}{4}\) × \(\frac{2}{9}\) = \(\frac{18}{36}\) = \(\frac{1}{2}\)

Perpangkatan dalam Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan \(\frac{a}{b}\) pangkat c sama dengan mengalikan pembagian dengan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Contoh:
    a. \((\frac{8}{9})^2\) = \(\frac{8}{9}\) × \(\frac{8}{9}\) = \(\frac{64}{81}\)

    b. \((\frac{1}{3})^2\) = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1×1}{3×3}\) = \(\frac{1}{9}\)

    c. \((\frac{1}{4})^3\) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1×1×1}{4×4×4}\) = \(\frac{1}{64}\)

E. Bilangan Pecahan Bentuk Baku

Contoh bilangan pecahan bentuk baku adalat sebagai berikut:
    a. Masa bumi diperkirakan mencapai: 5.880.000.000.000.000.000.000.000 kg
    b. Volume matahari: 1.330.000.000.000.000 km³
    c. Masa molekul air diperkirakan: 0,000.000.000.000.000.000.000.03 gram

Untuk membaca bilangan di atas maka dalam bentuk baku ditulis dengan: a × 10n , dimana n bilangan bulat.

Misal: 65.000.000.000.000 = 6,5 × 1013

Demikian pembahasan mengenai operasi hitung bilagan pecahan. Semoga bermanfaat.