Materi matematika kelas VII, setelah dibahas operasi hitung bilangan bulat pada materi sebelumnya. Sekarang kita akan membahas operasi hitung bilangan pecahan. Pokok bahasannya, sahabat edmodo.co.id bisa dilihat di daftar isi. Selamat belajar…
A. Pecahan dan Lambangnya
Pengertian Pecahan
Pecahan adalah hasil bagi dari dua bilangan bulat a dan b dengan b bukan faktor dari a, dan b tidak sama dengan nol (0).
Bilangan pecahan \(\frac{a}{b}\), a disebut pembilang dan b disebut penyebut.
Contoh: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{1}{8}\), 4\(\frac{1}{5}\)
Jenis/Bentuk Pecahan
a. Pecahan biasa/murni/sejati
Contoh:
\(\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{6}\), \(\frac{7}{8}\), \(\frac{-2}{3}\), dan lain-lain.
b. Pecahan Campuran
Contoh:
\(\frac{3}{5}\) dapat ditulis 1\(\frac{2}{3}\) berarti (1+\(\frac{2}{3}\))
\(\frac{9}{2}\) dapat ditulis 4\(\frac{1}{2}\) berarti (4+\(\frac{1}{2}\))
Pecahan Desimal
Contoh:
a. \(\frac{1}{4}\) untuk pecahan desimal dapat ditulis 0,25 → dari 1 : 4
b. \(\frac{3}{4}\) untuk pecahan desimal dapat ditulis 0,75 → dari 3 : 4
Persen (%)
Contoh:
a. \(\frac{4}{100}\) = 4%
b. 0,25 = 25%
c. \(\frac{1}{4}\) = 25%
Permil (‰)
Contoh:
a. \(\frac{4}{1000}\) = 4‰
b. 0,5 = 500‰
c. \(\frac{1}{4}\) = 250‰
B. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain
Mengubah Bentuk Pecahan Biasa ke Pecahan Desimal
Contoh:
a. \(\frac{9}{10}\) = 0,9
b. \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{4×2}{5×2}\) = \(\frac{8}{10}\) = 0,8
c. \(\frac{3}{8}\) = \(\frac{3×12,5}{8×12,5}\) = \(\frac{37,5}{100}\) = 0,375
Dengan pembagian tersusun:
Contoh:
a. \(\frac{5}{8}\) diselesaikan:
8 ⁄ 5 = 0,625
0
50
48
20
16
40
40
0
sehingga \(\frac{5}{8}\) = 0,625
b. \(\frac{1}{4}\) diselesaikan:
4 / 1 = 0,25
0
10
8
20
20
0
sehingga \(\frac{1}{4}\) = 0,25
Catatan:
Dalam pembulatan, untuk menghasilkan 2 tempat desimal maka dalam pembagian harus mencapai 3 tempat desimal. Untuk bilangamn terakhir sama pengan 5 tau lebih, seperti 6, 7, 8, 9, maka pembulatan harus ditambah satu pada bilangan sebelumnya.
Mengubah Pecahan Desimal ke Pecahan Biasa
Contoh:
a. 0,49 = \(\frac{49}{100}\)
b. 0,725 = \(\frac{725}{1.000}\)
c. 0,00008 = \(\frac{8}{100.000}\)
Ternyata banyaknya angka desimal adalah banyaknya angka disebelah kanan koma sama pengan banyaknya angka nol pada penyebut.
Jadi bila 0,49 = anglais disebelah kana koma ada 2 sehingga bentuk pecahannya angka penyebut nolnya harus 2 yaitu: \(\frac{49}{100}\)
Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Persen
Persen berarti “perseratus” ditulis p% tau \(\frac{p}{100}\)
Contoh:
a. \(\frac{20}{100}\) = 20%
b. \(\frac{84}{100}\) = 84%
c. \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{3}{7}\) × 100% = 42\(\frac{6}{7}\)%
Untuk mengubah bántuk pecahan biasa ke bentuk persen, kalikan pecahan tersebut dengan 100%.
Mengubah Bentuk Persen ke Pecahan
Contoh:
Ubahlah bentuk persen berikut ke dalam bentuk pecahan biasa!
a. 20%
Jawab:
20% = \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{20 : 20}{100 : 20}\) = \(\frac{1}{5}\)
b. 70%
Jawab:
70% = \(\frac{70}{100}\) = \(\frac{70 :10}{100 :10}\) = \(\frac{7}{10}\)
Ubahlah bentuk persen berikut ke dalam bentik desimal
a. 18% = 0.18. b. 13,5% = 0,135 c. 3% = 0,03
C. Menentukan dan Mengurutkan Suatu Pecahan yang Nilainya Di Antara 2 Pecahan
Contoh:
1. Tentukan pecahan yang tarletan di antara \(\frac{1}{4}\) dan \(\frac{1}{5}\)
Jawab:
\(\frac{1}{4}\) ….. \(\frac{1}{5}\) dapat dinyatan dengan
⇔ \(\frac{5}{10}\) … \(\frac{4}{20}\) → penyebut pecahan disamakan;
Karena belum ada penyebut di antara pembilangnya maka diteruskan dengan menyamakan
penyebut-penyebutnya dengan bilangan bulat lainnya.
⇔ \(\frac{10}{40}\) … \(\frac{8}{40}\) → setelah ada bilangan bulat.
Antara pembilang-pembilangnya, antara 10 dan 8 maka, pecahan antara\(\frac{1}{4}\) dan \(\frac{1}{5}\) adalah \(\frac{9}{40}\),
bila digambarkan dalam garis bilangan:
2. Urutkan pecahan-pecahan di bawah ini dari terkecil hingga terbesar dan tentukan letaknya pada garis bilangan.
\(\frac{3}{4}\), \(\frac{5}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{5}\), \(\frac{1}{6}\)
Jawab:
Menyamakan penyebutnya dengan menentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. KPK dari 4, 5, 3, dan 6 adalah 60.
Jadi, \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{45}{60}\), \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{24}{60}\), \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{40}{60}\), \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{36}{60}\), \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{10}{60}\)
\(\frac{10}{60}\) < \(\frac{24}{60}\) < \(\frac{36}{60}\) < \(\frac{40}{60}\) < \(\frac{45}{60}\) maka \(\frac{1}{6}\) < \(\frac{2}{5}\) < \(\frac{3}{5}\) < \(\frac{2}{3}\) < \(\frac{3}{4}\)
Letak pada garis bilangan:
D. Operasi Dalam Pecahan
Penjumlahan dan Pengurangan
Dalam menjumlahkan tau mengurangkan pecahan, penyebut-penyebutnya perlu disamakan terlebih dahulu.
Contoh:
Hitunglah: a. \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{6}{12}\) + \(\frac{9}{12}\) = \(\frac{17}{12}\) = 1\(\frac{5}{12}\)
b. \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{4}{24}\) + \(\frac{15}{24}\) = \(\frac{19}{24}\)
c. \(\frac{5}{8}\) – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5×6}{8×6}\) – \(\frac{1×6}{6×8}\) = \(\frac{30}{48}\) – \(\frac{8}{48}\) = \(\frac{22}{48}\) = \(\frac{11}{24}\)
Pada penjumlahan dan pengurangan berlaku sifat komutatif dan asosiatif.
\(\frac{a}{b}\) + \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a+b}{c}\)
\(\frac{a}{c}\) – \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{a-b}{c}\)
Perkalian Pecahan dengan Pecahan
Untuk mengalikan 2 pecahan biasa, kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut.
Contoh:
a. \(\frac{2}{8}\) × \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{2×3}{8×5}\) = \(\frac{6}{40}\) = \(\frac{3}{20}\)
b. \(\frac{3}{8}\) × 2\(\frac{4}{7}\) = \(\frac{3}{8}\) × \(\frac{18}{7}\) = \(\frac{3×18}{8×7}\) = \(\frac{54}{56}\) = \(\frac{27}{28}\)
c. 4\(\frac{1}{2}\) × 3\(\frac{2}{3}\) = \(\frac{9}{2}\) × \(\frac{11}{3}\) = \(\frac{×11}{2×3}\) = \(\frac{99}{6}\) = \(\frac{33}{2}\)
d. 2 × \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{2}{1}\) × \(\frac{3}{7}\) = \(\frac{2×3}{1×7}\) = \(\frac{6}{7}\)
Invers Perkalian (Kebalikan) dari Suatu Bilangan
Suatu bilangan bila dikalikan dengan inversnya, hasilnya sama dengan 1.
Kebalikan dari a = \(\frac{1}{a}\) Karena a × \(\frac{1}{a}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1
Kebalikan dari \(\frac{a}{b}\) = \(\frac{b}{a}\), a ≠ 0,b ≠ 0
Contoh: Tentukan invers dari:
a. 9
Jawab: 9 × \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{9}{9}\) = 1; invers perkalian dari 9 atalha \(\frac{1}{9}\)
b. \(\frac{2}{8}\)
Jawab: \(\frac{2}{8}\) × \(\frac{8}{2}\) = \(\frac{16}{16}\) = 1; invers perkalian dari \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{8}{2}\) = 4
Pembagian Pecahan dengan Pecahan
Pembagian bilangan pecahan a oleh b, b ≠ 0 sama dengan mengalikan bilangan a pengan invers b.
Contoh:
a. \(\frac{5}{6}\) : \(\frac{2}{3}\)
Jawab: \(\frac{5}{6}\) : \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{3}{2}\) = \(\frac{15}{12}\) = \(\frac{5}{4}\) = 1\(\frac{1}{4}\)
b. 2\(\frac{1}{4}\) : 4\(\frac{1}{2}\)
Jawab: 2\(\frac{1}{4}\) : 4\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{9}{4}\) : \(\frac{9}{2}\) = \(\frac{9}{4}\) × \(\frac{2}{9}\) = \(\frac{18}{36}\) = \(\frac{1}{2}\)
Perpangkatan dalam Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan \(\frac{a}{b}\) pangkat c sama dengan mengalikan pembagian dengan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
Contoh:
a. \((\frac{8}{9})^2\) = \(\frac{8}{9}\) × \(\frac{8}{9}\) = \(\frac{64}{81}\)
b. \((\frac{1}{3})^2\) = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1×1}{3×3}\) = \(\frac{1}{9}\)
c. \((\frac{1}{4})^3\) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1×1×1}{4×4×4}\) = \(\frac{1}{64}\)
E. Bilangan Pecahan Bentuk Baku
Contoh bilangan pecahan bentuk baku adalat sebagai berikut:
a. Masa bumi diperkirakan mencapai: 5.880.000.000.000.000.000.000.000 kg
b. Volume matahari: 1.330.000.000.000.000 km³
c. Masa molekul air diperkirakan: 0,000.000.000.000.000.000.000.03 gram
Untuk membaca bilangan di atas maka dalam bentuk baku ditulis dengan: a × 10n , dimana n bilangan bulat.
Misal: 65.000.000.000.000 = 6,5 × 1013
Demikian pembahasan mengenai operasi hitung bilagan pecahan. Semoga bermanfaat.
